设3阶方阵A的特征值为2，一1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3—2A2+4E，试求B一1的特征值与特征向量．

admin2017-04-23 66

问题设3阶方阵A的特征值为2，一1，0，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，若B=A³—2A²+4E，试求B^一1的特征值与特征向量．

选项

答案B=f(A)，其中f(x)=x³—2x²+4．由Aα₁=2α₁，两端左乘A，得A²α₁=2Aα₁，将Aα₁=2α₁代入，得A²α₁=2²α₁=4α₁，类似可得A³α₁=2³α₁=8α₁，[*]Bα₁=(A³—2A²+4E)α₁=A³α₁一2A²α₁+4α₁=2³α₁一2．2²α₁+4α₁=(2³—2．2²+4)α₁=f(2)α₁=4α₁，类似可得Bα₂=f(一1)α₂=α₂，Bα₁=f(0)α₃=4α₃，所以，B的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为α₁，α₂，α₃．因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以矩阵P= [α₁ α₂ α₃]可逆，且有P^一1BP=[*]为对角矩阵，两端取逆矩阵，得P^一1B^一1P=[*]，由此知B^一1的特征值为[*]，对应特征向量分别为α₁，α₂，α₃．

解析

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考研数学二

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