2. 考研
  3. 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1一θ)2，EX=2(1一θ)(θ为未知参数)． (Ⅰ)试求X的概率分布； (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．

已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1一θ)2，EX=2(1一θ)(θ为未知参数)． (Ⅰ)试求X的概率分布； (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．

admin2016-10-26  59
问题 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1一θ)2，EX=2(1一θ)(θ为未知参数)．
(Ⅰ)试求X的概率分布；
(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．
选项
答案(Ⅰ)设X的概率分布为P{X=0}=p0，P{x=1}=p1，P{X=2}=p2，由题设知p2=(1一θ)2，又EX=2(1一θ)=0×p0+1×p1+2p2=p1+2p2=p0+2(1一θ)2，解得p1=2(1一θ)一2(1一θ)2=2θ(1一θ)，而p0+p1+p2=1，所以p0=1一p1—p2=θ2，X的概率分布为 [*] (Ⅱ)应用定义求矩估计值、最大似然估计值．令μ=EX=2(1一θ)，解得θ=1一[*]，于是θ的矩估计量[*]，将样本值代入得θ的矩估计值为1一[*]=[*]，即θ的矩估计值[*]又样本值的似然函数 L(x1，…，x10；θ)=[*]P{X=xi，θ}=[2θ(1一θ)]5(1一θ)6θ4=25θ9(1一θ)11， lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1一θ)， 令[*]=0，解得θ最大似然估计值[*]
解析
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考研数学一

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