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已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2,且P{X=2}=(1一θ)2,EX=2(1一θ)(θ为未知参数). (Ⅰ)试求X的概率分布; (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本,其中5个取1,3个取2,2个取0,求θ的矩估计值、最大似然估计值.
已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2,且P{X=2}=(1一θ)2,EX=2(1一θ)(θ为未知参数). (Ⅰ)试求X的概率分布; (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本,其中5个取1,3个取2,2个取0,求θ的矩估计值、最大似然估计值.
admin
2016-10-26
57
问题
已知总体X是离散型随机变量,X可能取值为0,1,2,且P{X=2}=(1一θ)
2
,EX=2(1一θ)(θ为未知参数).
(Ⅰ)试求X的概率分布;
(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本,其中5个取1,3个取2,2个取0,求θ的矩估计值、最大似然估计值.
选项
答案
(Ⅰ)设X的概率分布为P{X=0}=p
0
,P{x=1}=p
1
,P{X=2}=p
2
,由题设知p
2
=(1一θ)
2
,又EX=2(1一θ)=0×p
0
+1×p
1
+2p
2
=p
1
+2p
2
=p
0
+2(1一θ)
2
,解得p
1
=2(1一θ)一2(1一θ)
2
=2θ(1一θ),而p
0
+p
1
+p
2
=1,所以p
0
=1一p
1
—p
2
=θ
2
,X的概率分布为 [*] (Ⅱ)应用定义求矩估计值、最大似然估计值.令μ=EX=2(1一θ),解得θ=1一[*],于是θ的矩估计量[*],将样本值代入得θ的矩估计值为1一[*]=[*],即θ的矩估计值[*]又样本值的似然函数 L(x
1
,…,x
10
;θ)=[*]P{X=x
i
,θ}=[2θ(1一θ)]
5
(1一θ)
6
θ
4
=2
5
θ
9
(1一θ)
11
, lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1一θ), 令[*]=0,解得θ最大似然估计值[*]
解析
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0
考研数学一
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