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设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x,则在(一∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x,则在(一∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
admin
2018-03-30
50
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫
0
x
f(x—t)sin tdt+x,则在(一∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )
选项
A、恒为正.
B、恒为负.
C、与x同号.
D、与x异号.
答案
C
解析
作积分变量代换,令x—t=u,得
f(x)=∫
0
x
f(u)sin(x—u)d(—u)+x=∫
0
x
f(u)sin(x—u)du+x
=sin x.∫
0
x
f(u)cos udu—cos x.∫
0
x
f(u)sin udu+x,
f’(x)=cos x.∫
0
x
f(u)cos udu+sin x.cos x.f(x)+sin x.∫
0
x
f(u)sin udu—cos x.sin x.f(x)+1
=cos x.∫
0
x
f(u)cos udu+sin x.∫
0
x
f(u)sin udu+1,
f"(x)=一sin x.∫
0
x
f(u)cos udu+cos
2
x.f(x)+cos x.∫
0
x
f(u)sin udu+sin
2
x.f(x)
=f(x)一f(x)+x=x.
所以f(x)=
+C
1
x+C
2
.又因f(0)=0,f(0)=1,所以C
1
=1,C
2
=0.
从而f(x)=
+1),故应选C.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/awX4777K
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考研数学三
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