2. 考研
  3. 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy。 (Ⅰ)设M(x0，y0)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy。 (Ⅰ)设M(x0，y0)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大

admin2020-03-05  425
问题 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy。
(Ⅰ)设M(x0，y0)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式；
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
选项
答案(Ⅰ)函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向 [*] (Ⅱ)求g(x，y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点与求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)， 则有 [*] 联立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。 若y=-x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。 若y=x，则由(3)式得x2=75，即[*]。 于是得可能的条件极值点 M1(5，-5)，M2(-5，5)，[*]。 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在这些点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。
解析
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考研数学一

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