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设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=|(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy。 (Ⅰ)设M(x0,y0)为区域D上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大
设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=|(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy。 (Ⅰ)设M(x0,y0)为区域D上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大
admin
2020-03-05
424
问题
设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=|(x,y)|x
2
+y
2
-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x
2
-y
2
+xy。
(Ⅰ)设M(x
0
,y
0
)为区域D上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x
0
,y
0
),写出g(x
0
,y
0
)的表达式;
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,要在D的边界线x
2
+y
2
-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
选项
答案
(Ⅰ)函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向 [*] (Ⅱ)求g(x,y)在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点与求g
2
(x,y)=(y-2x)
2
+(x-2y)
2
=5x
2
+5y
2
-8x),在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=5x
2
+5y
2
-8xy+λ(x
2
+y
2
-xy-75), 则有 [*] 联立(1),(2)解得y=-x,λ=-6或y=x,λ=-2。 若y=-x,则由(3)式得3x
2
=75,即x=±5,y=±5。 若y=x,则由(3)式得x
2
=75,即[*]。 于是得可能的条件极值点 M
1
(5,-5),M
2
(-5,5),[*]。 现比较f(x,y)=g
2
(x,y)=5x
2
+5y
2
-8xy在这些点的函数值,有 f(M
1
)=f(M
2
)=450,f(M
3
)=f(M
4
)=150。 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M
1
,M
2
,M
3
,M
4
中取到。所以g
2
(x,y)在M
1
,M
2
取得边界线D上的最大值,即M
1
,M
2
可作为攀登的起点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/b5S4777K
0
考研数学一
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