已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．

admin2019-05-11 41

问题已知β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，但不可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示．证明
(1)α_s不可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示；
(2)α_s可用α₁，α₂，…，α_s－1，β线性表示．

选项

答案由于β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，可设有表示式 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m， (Ⅰ) (1)用反证法如果α_s可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示；设α_s=t₁α₁+t₂α₂+…+t_m－1α_m－1，代入(Ⅰ)式得β用α₁，α₂，…，α_s－1的线性表示式： β=(k₁+t₁)α₁+(k₂+t₂)α₂+…+(k_m－1+t_m－1)d_m－1，与条件矛盾． (2)(Ⅰ)中的k_m≠0(否则β可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示)．于是有 [*]

解析

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考研数学二

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已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．

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