已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;并当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A.

admin2018-11-22  28

问题 已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;并当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A.

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值,则由|5E—A|=[*]=3(4—a2)=0,可得a=±2. 当a=2时,则由矩阵A的特征多项式 [*] 知矩阵A的特征值是1,2,5. 由(E—A)x=0得基础解系α1=(0,1,一1)T; 由(2E一A)x=0得基础解系α2=(1,0,0)T; 由(5E一A)x=0得基础解系α3=(0,1,1)T. 即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α1,α2,α3. 由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化,有 [*] 那么,令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*],则有Q-1AQ=[*]

解析
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