已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q－1AQ=A．

admin2018-11-22 63

问题已知矩阵A=

有特征值λ=5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q^－1AQ=A．

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值，则由｜5E—A｜=[*]=3(4—a²)=0，可得a=±2．当a=2时，则由矩阵A的特征多项式 [*] 知矩阵A的特征值是1，2，5．由(E—A)x=0得基础解系α₁=(0，1，一1)^T；由(2E一A)x=0得基础解系α₂=(1，0，0)^T；由(5E一A)x=0得基础解系α₃=(0，1，1)^T．即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α₁，α₂，α₃．由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有 [*] 那么，令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]，则有Q^－1AQ=[*]

解析

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考研数学一

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