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  3. 设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n＞2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n＞2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2013-09-15  51
问题 设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n＞2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
选项
答案由题设，方程组的系数矩阵为A=[*] 则｜A｜=[*]=[a+(n-1)b](a-b)n-1． 当a≠b且a+(n-1)b≠0，即a≠(1-n)b时，方程组仅有零解． 当a=b时，对A可作初等行变换化为阶梯形[*] 则不难求得原方程组的基础解系为[*] 因此方程组的全部解是x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，其中k1，k2，…，kn-1，为任意常数． 当a=(1-n)b时，同样对A作初等行变换化为阶梯形[*] 则可得此时基础解系为[*]，从而原方程组的全部解是kξ，其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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