2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明： ∫abf2(x)dx≤(b-a)2/2∫ab[f′(x)]dx

设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明： ∫abf2(x)dx≤(b-a)2/2∫ab[f′(x)]dx

admin2022-08-19  35
问题 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明：
∫abf2(x)dx≤(b-a)2/2∫ab[f′(x)]dx
选项
答案由f(a)=0，得f(x)-f(a)=f(x)=∫axf′(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=[∫axf′(t)dt]2≤∫ax12dt∫axf′2(t)dt≤(x-a)∫abf′2(x)dx， 积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x-a)dx·∫abf′2(x)dx=[(b-a)2]/2∫abf′2(x)dx.
解析
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考研数学三

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