设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明： ∫abf2(x)dx≤(b-a)2/2∫ab[f′(x)]dx

admin2022-08-19 12

问题设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0.证明：
∫_a^bf²(x)dx≤(b-a)²/2∫_a^b[f′(x)]dx

选项

答案由f(a)=0，得f(x)-f(a)=f(x)=∫_a^xf′(t)dt，由柯西不等式得 f²(x)=[∫_a^xf′(t)dt]²≤∫_a^x1²dt∫_a^xf′²(t)dt≤(x-a)∫_a^bf′²(x)dx，积分得∫_a^bf²(x)dx≤∫_a^b(x-a)dx·∫_a^bf′²(x)dx=[(b-a)²]/2∫_a^bf′²(x)dx.

解析

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