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  3. 用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换。

用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换。

admin2015-11-16  55
问题 用非退化(可逆)的线性变换化二次型
    f(x1，x2，x3)＝－4x1x2＋2x1x3＋2x2x3
为标准形，并求此非退化的线性变换。
选项
答案解：令[*] ① 则 原式＝－4y12＋4y22＋4y1y3 ＝－4y12＋4y1y3－y32＋y32＋4y22 ＝－(2y1－y3)2＋4y22＋y32。 再令[*] ② 则 原式＝－z12＋4z22＋32。 因此原二次型的标准形为－z12＋4z22＋32。 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换，即 X＝PZ， 其中X＝[x1，x2，x3]T， Z＝[z1，z2，z3]T。 为求此变换，由方程组②得到 y3＝z3， y2＝z2， y1＝(z1＋z3)／2。 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换： [*]
解析
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考研数学一

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