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用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形,并求此非退化的线性变换。
用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形,并求此非退化的线性变换。
admin
2015-11-16
85
问题
用非退化(可逆)的线性变换化二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=-4x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
为标准形,并求此非退化的线性变换。
选项
答案
解:令[*] ① 则 原式=-4y
1
2
+4y
2
2
+4y
1
y
3
=-4y
1
2
+4y
1
y
3
-y
3
2
+y
3
2
+4y
2
2
=-(2y
1
-y
3
)
2
+4y
2
2
+y
3
2
。 再令[*] ② 则 原式=-z
1
2
+4z
2
2
+
3
2
。 因此原二次型的标准形为-z
1
2
+4z
2
2
+
3
2
。 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换,即 X=PZ, 其中X=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
, Z=[z
1
,z
2
,z
3
]
T
。 为求此变换,由方程组②得到 y
3
=z
3
, y
2
=z
2
, y
1
=(z
1
+z
3
)/2。 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换: [*]
解析
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考研数学一
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