设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3．证明向量组β1，β2，β3也是R3的一个基；

admin2021-02-25 51

问题设向量组α₁，α₂，α₃为3维向量空间R³的一个基，令β₁=2α₁+2kα₃，β₂=2α₂，β₃=2α₁+(k+1)α₃．
证明向量组β₁，β₂，β₃也是R³的一个基；

选项

答案由于 [*] 而 [*] 所以β₁，β₂，β₃线性无关，故β₁，β₂，β₃也是R³的一个基．

解析本题考查向量空间和线性方程组的综合题．解题所用的主要知识点有向量空间基与基变换公式及向量坐标的概念；向量组线性相关性的判定：n个n维向量线性无关

由它们排成的n阶行列式不为零；n元齐次线性方程组有非零解

其系数矩阵的秩r(A)＜n．

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