2. 考研
  3. 设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数． 试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数． 试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

admin2021-02-25  69
问题 设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为
    x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．
试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；
选项
答案由题设条件可知ξ=(1，-2，3)T是对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以r(A)=3-1=2；η=(1，2，-1)T为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解．于是有 [*] 由(1)可得α1=2α2-3α3，即α1可用α2，α3线性表示，则2，α3线性无关，否则r(α1，α2，α3)=1与r(A)=2矛盾， 所以α1，α2，α3的一个极大线性无关组可取为α2，α3． 由(2)可得 b=α1+2α2-α3=4α2-43．
解析 本题是抽象型非齐次线性方程组的典型情形．只要从题设条件求得对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系与非齐次线性方程组Ax=b的一个特解即可．其中一个关键问题仍是确定系数矩阵A的秩，由此可知基础解系中包含线性无关解向量个数．
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考研数学二

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