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如果λ1，λ2是矩阵A的不同的特征值，而α1，α2，…，和β1，β2，…，分别是属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量，那么向量组α1，α2，…，，β1，β2，…，线性无关．
如果λ1，λ2是矩阵A的不同的特征值，而α1，α2，…，和β1，β2，…，分别是属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量，那么向量组α1，α2，…，，β1，β2，…，线性无关．
admin
2020-09-25
31
问题
如果λ
1
，λ
2
是矩阵A的不同的特征值，而α
1
，α
2
，…，
和β
1
，β
2
，…，
分别是属于特征值λ
1
和λ
2
的线性无关的特征向量，那么向量组α
1
，α
2
，…，
，β
1
，β
2
，…，
线性无关．
选项
答案
设有如下关系式： a
1
α
1
+a
2
α
2
+…+[*]+b
1
β
1
+b
2
β
2
+…+[*]=0， ① 则①两边同时乘以λ
2
得 a
1
λ
2
α
1
+a
2
λ
2
α
2
+…+[*]+b
1
λ
2
β
1
+b
2
λ
2
β
2
+…+[*]=0， ② ①两边同时左乘A得 a
1
Aα
1
+a
2
Aα
2
+…+[*]+b
1
Aβ
1
+b
2
Aβ
2
+…+[*]=0， ③ 即a
1
λ
1
α
1
+a
2
λ
1
α
2
+…+[*]+b
1
λ
2
β
1
+b
2
λ
2
β
2
+…+[*]=0， ④ ②一④得 (λ
2
一λ
1
)a
1
α
2
+(λ
2
一λ
1
)a
2
α
2
+…+[*]=0， 由α
1
，α
2
，…，[*]，的线性无关性知： (λ
2
-λ
1
)a
1
=0，(λ
2
-λ
1
)a
2
=0，…，(λ
2
一λ
1
)[*]=0， 又λ
1
≠λ
2
，所以a
1
=a
2
=…=[*]=0． 代入①式可得 b
1
β
1
+b
2
β
2
+…+[*]=0， 由β
1
，β
2
，…[*]的线性无关性有b
1
=b
2
=…=[*]=0，所以α
1
，α
2
，…，[*]，β
1
，β
2
，…，[*]，线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bJx4777K
0
考研数学三
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