2. 考研
  3. 设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt＝f(2)＋f(3)． 证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)＝f’(ξ2)＝0． (2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝0．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt＝f(2)＋f(3)． 证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)＝f’(ξ2)＝0． (2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝0．

admin2017-12-31  63
问题 设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt＝f(2)＋f(3)．
证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)＝f’(ξ2)＝0．
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)－2f’(ξ)＝0．
选项
答案(1)令F(x)＝∫0xf(t)dt，F’(x)＝f(x)， ∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F’(c)(2－0)＝2f(c)，其中0＜c＜2． 因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M， m≤[*]≤M， 由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)＝[*]，即f(2)＋f(3)＝2f(x0)， 于是f(0)＝f(c)＝f(x0)， 由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)[*2013](0，3)，ξ2(c，x0)[*](0，3)，使得f’(ξ1)＝f’(ξ2)＝0． (2)令φ(x)＝e－2xf’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，3)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝e－2x[f’’(x)－2f’(x)]且e－2x≠0，故f’’(ξ)－2f’(ξ)＝0．
解析
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考研数学三

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