2. 考研
  3. 设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量． 若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量． 若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

admin2022-09-22  60
问题 设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
选项
答案解法一 由已知有A2α=-Aα+6α， 于是AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=(Aα，-Aα+6α) =(α，Aα)[*]，故有P-1AP=[*] 因为P可逆， 因此，可得A与[*]相似，又[*]=(λ+3)·(λ-2)=0， [*]λ1=-3，λ2=2， 所以可得A的特征值也为-3，2．于是A可相似对角化． 解法二 P-1AP同解法一． 由A2α+Aα-6α=0， 得(A2+A-6E)α=0， 即(A+3E)(A-2E)α=0， 由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解， 故｜(A+3E)(A-2E)｜=0， 得｜A+3E｜=0或｜A-2E｜=0， 若｜A+3E｜≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾， 故｜A+3E｜=0，同理可得｜A-2E｜=0． 于是A的特征值为λ1=-3，λ2=2， A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
解析
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考研数学二

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