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设A为二阶矩阵,P=(α,Aα),其中α是非零向量且不是A的特征向量. 若A2α+Aα-6α=0,求P-1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
设A为二阶矩阵,P=(α,Aα),其中α是非零向量且不是A的特征向量. 若A2α+Aα-6α=0,求P-1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
admin
2022-09-22
107
问题
设A为二阶矩阵,P=(α,Aα),其中α是非零向量且不是A的特征向量.
若A
2
α+Aα-6α=0,求P
-1
AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
选项
答案
解法一 由已知有A
2
α=-Aα+6α, 于是AP=A(α,Aα)=(Aα,A
2
α)=(Aα,-Aα+6α) =(α,Aα)[*],故有P
-1
AP=[*] 因为P可逆, 因此,可得A与[*]相似,又[*]=(λ+3)·(λ-2)=0, [*]λ
1
=-3,λ
2
=2, 所以可得A的特征值也为-3,2.于是A可相似对角化. 解法二 P
-1
AP同解法一. 由A
2
α+Aα-6α=0, 得(A
2
+A-6E)α=0, 即(A+3E)(A-2E)α=0, 由α≠0得(A
2
+A-6E)x=0有非零解, 故|(A+3E)(A-2E)|=0, 得|A+3E|=0或|A-2E|=0, 若|A+3E|≠0,则有(A-2E)α=0,故Aα=2α与题意矛盾, 故|A+3E|=0,同理可得|A-2E|=0. 于是A的特征值为λ
1
=-3,λ
2
=2, A有2个不同特征值,故A可相似对角化.
解析
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考研数学二
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