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[2010年] 设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示. 下列命题正确的是( ).
[2010年] 设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr可由向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示. 下列命题正确的是( ).
admin
2021-01-19
42
问题
[2010年] 设向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
r
可由向量组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.
下列命题正确的是( ).
选项
A、若向量组(Ⅰ)线性无关,则r≤s
B、若向量组(Ⅰ)线性相关,则r>s
C、若向量组(Ⅱ)线性无关,则r≤s
D、若向量组(Ⅱ)线性相关,则r>s
答案
A
解析
可用命题2.3.1.4(2)直接判定,也可用命题2.3.1.4(3)推导.
解一 若向量组(Ⅰ)线性无关,则向量组(I)不能由其向量个数小于向量组(I)的向量组线性表示.由题设知,向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示,则其向量个数r≤s.仅(A)入选.
解二 因向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,由命题2.3.1.4(3)知,秩(I)≤秩(Ⅱ),即
秩(α
1
,α
2
,…,α
r
)≤秩(β
1
,β
2
,…,β
s
)≤s.
若向量组I线性无关,则秩(α
1
,α
2
,…,α
r
)=r,故r=秩(α
1
,α
2
,…,α
r
)≤秩(β
1
,β
2
,…,β
s
)≤s,即r≤s.仅(A)入选.
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考研数学二
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