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  3. [2010年] 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示． 下列命题正确的是( )．

[2010年] 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示． 下列命题正确的是( )．

admin2021-01-19  57
问题 [2010年]  设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示．
下列命题正确的是(    )．
选项 A、若向量组(Ⅰ)线性无关，则r≤s  
B、若向量组(Ⅰ)线性相关，则r＞s
C、若向量组(Ⅱ)线性无关，则r≤s
D、若向量组(Ⅱ)线性相关，则r＞s
答案A
解析 可用命题2．3．1．4(2)直接判定，也可用命题2．3．1．4(3)推导．
    解一  若向量组(Ⅰ)线性无关，则向量组(I)不能由其向量个数小于向量组(I)的向量组线性表示．由题设知，向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则其向量个数r≤s．仅(A)入选．
    解二  因向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，由命题2．3．1．4(3)知，秩(I)≤秩(Ⅱ)，即
    秩(α1，α2，…，αr)≤秩(β1，β2，…，βs)≤s．
若向量组I线性无关，则秩(α1，α2，…，αr)=r，故r=秩(α1，α2，…，αr)≤秩(β1，β2，…，βs)≤s，即r≤s．仅(A)入选．
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考研数学二

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