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求微分方程y"+4y’一5y=(3x一1)ex满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的特解.
求微分方程y"+4y’一5y=(3x一1)ex满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的特解.
admin
2020-10-21
71
问题
求微分方程y"+4y’一5y=(3x一1)e
x
满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的特解.
选项
答案
(1)先求y"+4y’一5y=0的通解. 特征方程为r
2
+4r一5=0,解得r
1
=一5,r
2
=1,所以y"+4y’一5y=0的通解为 Y=C
1
e
-5x
+C
2
e
x
,其中C
1
,C
2
为任意常数. (2)其次求y"+4y’ —5y=(3x—1)e
x
的一个特解. 因为λ=1是特征单根,令其一个特解为y
*x
=x(Ax+B)e
x
,则 (y
*
)’=(2Ax+B+Ax
2
+Bx)e
x
, (y
*
)"=(2A+4Ax+2B+Ax
2
+Bx)e
x
, 将其代入原方程,并消去e
x
,得 2A+6B+12Ax=3x一1, 比较等式两边x的系数,得 [*] 解得[*] (3)写出y"+4y’一5y=(3x—1)e
x
的通解为 [*],其中C
1
,C
2
为任意常数. 则 [*] 由y(0)=0,y’(0)=1,得 [*] 解得C
1
=一[*],C
2
=[*],故所求特解为 [*]
解析
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考研数学二
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