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设在区间[0,2]上,|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1。证明:对于任意的x∈[0,2],有 |f’(x)|≤2。
设在区间[0,2]上,|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1。证明:对于任意的x∈[0,2],有 |f’(x)|≤2。
admin
2018-05-25
53
问题
设在区间[0,2]上,|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1。证明:对于任意的x∈[0,2],有
|f’(x)|≤2。
选项
答案
对任意的x∈[0,2],将函数按(y一x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f’(x)(y—x)+[*](y—x)
2
。 令y=0和y=2,得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*]x
2
,x<ξ
1
<x。 f(2)=f(x)+f’(x)(2一x)+[*](2一x)
2
,x<ξ
2
<2。 上面两式相减,得 f(2)一f(0)=2f’(x)+[*][f"(ξ
2
)(2一x)
2
一f"(ξ
1
)x
2
], 即 f’(x)=[*][f"(ξ
2
)(2一x)
2
一f"(ξ
1
)x
2
]。 由题设条件,|f(x)|≤1,且|f"(x)|≤1,则 |f’(x)|≤[*][|f"(ξ
2
)"(2一x)
2
+|f"(ξ
1
)|x
2
] ≤1+[*][(2一x)
2
+x
2
]≤2。 命题得证。
解析
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考研数学一
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