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  3. 设在区间[0，2]上，｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤1。证明：对于任意的x∈[0，2]，有 ｜f’(x)｜≤2。

设在区间[0，2]上，｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤1。证明：对于任意的x∈[0，2]，有 ｜f’(x)｜≤2。

admin2018-05-25  55
问题 设在区间[0，2]上，｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤1。证明：对于任意的x∈[0，2]，有
    ｜f’(x)｜≤2。
选项
答案对任意的x∈[0，2]，将函数按(y一x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f’(x)(y—x)+[*](y—x)2。 令y=0和y=2，得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*]x2，x＜ξ1＜x。 f(2)=f(x)+f’(x)(2一x)+[*](2一x)2，x＜ξ2＜2。 上面两式相减，得 f(2)一f(0)=2f’(x)+[*][f"(ξ2)(2一x)2一f"(ξ1)x2]， 即 f’(x)=[*][f"(ξ2)(2一x)2一f"(ξ1)x2]。 由题设条件，｜f(x)｜≤1，且｜f"(x)｜≤1，则 ｜f’(x)｜≤[*][｜f"(ξ2)"(2一x)2+｜f"(ξ1)｜x2] ≤1+[*][(2一x)2+x2]≤2。 命题得证。
解析
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考研数学一

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