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  3. 空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n，n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是( )

空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n，n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是( )

admin2016-04-14  71
问题 空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n，n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是(     )
选项 A、r=1．
B、r=2．
C、r=3．
D、1≤r≤3．
答案D
解析 先举例说明为什么不选(A)、(B)、(C)．例子如下：取点P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P3(3，3，3)，
P4(4，4，4)．此4点在一条直线上，显然共面．矩阵

的秩为2，所以不选(A)、(C)．又如P1(1，0，0)，P2(0，0，0)，P3(0，0，1)，P4共面(共面方程x+y+z=1)，矩阵

的秩为3，不选(A)、(B)．以下证明(D)是正确的．证明如下：
设这n个点共面，则其中任取4个点，例如P1，P2，P3与P4也必共面．于是

其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程．所以l≤r≤≤3．反之，设1≤r≤3，则A中任取一个4阶矩阵，其对应的行列式必为零，因此任意4点必共面，所以这n个点必共面．证毕．
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考研数学一

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