2. 考研
  3. 设a0=1，a1=0，an+1=(nan+an-1)(n=1，2，3…)，S(x)为幂级数anxn的和函数． 证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1，1))，并求S(x)表达式．

设a0=1，a1=0，an+1=(nan+an-1)(n=1，2，3…)，S(x)为幂级数anxn的和函数． 证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1，1))，并求S(x)表达式．

admin2017-02-21  49
问题 设a0=1，a1=0，an+1=(nan+an-1)(n=1，2，3…)，S(x)为幂级数anxn的和函数．
证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1，1))，并求S(x)表达式．
选项
答案S’(x)=[*] (1-x)S’(x)=(1-x)[*]nanxn-1=[*]nanxn-1=[*]nanxn=[*](n+1)an+1xn-[*]nanxn =[*][(n+1)an+1-nan]xn+a1x xS(x)=[*]an+1xn，所以 (1-x)S’(x)-xS(x)=[*][(n+1)an+1-nan-an-1]xn+a1x 由an+1=[*](nan+an-1)可知(n+1)an+1-nan-an-1=0，由a1=0，所以(1-x)S’(x)-xS(x)=0 解微分方程得S(x)=[*]，由S(0)=an=1[*]
解析
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考研数学三

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