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设a0=1,a1=0,an+1=(nan+an-1)(n=1,2,3…),S(x)为幂级数anxn的和函数. 证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1)),并求S(x)表达式.
设a0=1,a1=0,an+1=(nan+an-1)(n=1,2,3…),S(x)为幂级数anxn的和函数. 证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1)),并求S(x)表达式.
admin
2017-02-21
63
问题
设a
0
=1,a
1
=0,a
n+1
=
(na
n
+a
n-1
)(n=1,2,3…),S(x)为幂级数
a
n
x
n
的和函数.
证明(1-x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1)),并求S(x)表达式.
选项
答案
S’(x)=[*] (1-x)S’(x)=(1-x)[*]na
n
x
n-1
=[*]na
n
x
n-1
=[*]na
n
x
n
=[*](n+1)a
n+1
x
n
-[*]na
n
x
n
=[*][(n+1)a
n+1
-na
n
]x
n
+a
1
x xS(x)=[*]a
n+1
x
n
,所以 (1-x)S’(x)-xS(x)=[*][(n+1)a
n+1
-na
n
-a
n-1
]x
n
+a
1
x 由a
n+1
=[*](na
n
+a
n-1
)可知(n+1)a
n+1
-na
n
-a
n-1
=0,由a
1
=0,所以(1-x)S’(x)-xS(x)=0 解微分方程得S(x)=[*],由S(0)=a
n
=1[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bTH4777K
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考研数学三
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