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求下列各微分方程的通解: (Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0; (Ⅱ)+x2-lnx)dy=0.
求下列各微分方程的通解: (Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0; (Ⅱ)+x2-lnx)dy=0.
admin
2016-10-26
112
问题
求下列各微分方程的通解:
(Ⅰ)(3x
2
+6xy
2
)dx+(6x
2
y+4y
3
)dy=0;
(Ⅱ)
+x
2
-lnx)dy=0.
选项
答案
(Ⅰ)由凑微分法易知,这是全微分方程,改写成 dx
3
+3y
2
dx
2
+3x
2
dy
2
+dy
4
=0,即d(x
3
+3x
2
y
2
+y
4
)=0. 于是即得其通解为x
3
+3x
2
y
2
+y
4
=C,其中C为任意常数. (Ⅱ)经计算容易验证:[*]+x
2
-lnx),所以它也是全微分方程,然而,由于方程中含lnx,则只能在半平面x>0上考虑.为求原函数,现设积分路径从点(1,0)开始,首先沿x轴积到点(x,0),然后再沿横坐标为石的直线积到点(x,y),有 u(x,y)=[*]+x
2
-lnx)y. 于是即得其通解为([*]+x
2
+-lnx)y=C,其中C为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bTu4777K
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考研数学一
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