求下列各微分方程的通解： (Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0； (Ⅱ)+x2－lnx)dy=0．

admin2016-10-26 54

问题求下列各微分方程的通解：
(Ⅰ)(3x²+6xy²)dx+(6x²y+4y³)dy=0；
(Ⅱ)

+x²－lnx)dy=0．

选项

答案(Ⅰ)由凑微分法易知，这是全微分方程，改写成 dx³+3y²dx²+3x²dy²+dy⁴=0，即d(x³+3x²y²+y⁴)=0．于是即得其通解为x³+3x²y²+y⁴=C，其中C为任意常数． (Ⅱ)经计算容易验证：[*]+x²－lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含lnx，则只能在半平面x＞0上考虑．为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿x轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x，y)=[*]+x²－lnx)y．于是即得其通解为([*]+x²+－lnx)y=C，其中C为任意常数．

解析

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考研数学一

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