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  3. 求下列各微分方程的通解： (Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0； (Ⅱ)+x2－lnx)dy=0．

求下列各微分方程的通解： (Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0； (Ⅱ)+x2－lnx)dy=0．

admin2016-10-26  68
问题 求下列各微分方程的通解：
(Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0；
(Ⅱ)+x2－lnx)dy=0．
选项
答案(Ⅰ)由凑微分法易知，这是全微分方程，改写成 dx3+3y2dx2+3x2dy2+dy4=0，即d(x3+3x2y2+y4)=0． 于是即得其通解为x3+3x2y2+y4=C，其中C为任意常数． (Ⅱ)经计算容易验证：[*]+x2－lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含lnx，则只能在半平面x＞0上考虑．为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿x轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x，y)=[*]+x2－lnx)y． 于是即得其通解为([*]+x2+－lnx)y=C，其中C为任意常数．
解析
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考研数学一

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