设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一 S

admin2017-04-24  36

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一 S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x,y)处切线方程为 Y一y= y’(x)(X一x) 它与x轴的交点为(x一[*],0),由于y’(x)>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 [*] 又 S2=∫0xy(t)dt 由条件 2S1一 S2=1知 [*]一∫0xy(t)dt=1 (*) 两边对x求导并化简得 yy"=(y’)2 令y’=P,则上述方程化为 [*] 注意到y(0)=1,由(*)式可知y’(0)=1,由此可得C1=1,C2=0,故所求曲线方程为 y一ex

解析
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