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设f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
设f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
admin
2022-10-13
82
问题
设f(x)=sinx-∫
0
x
(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
选项
答案
由f(x)=sinx-x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt的两边对x求导得 f’(x)=cosx-∫
0
x
f(t)dt 两边再对x求导得 f"(x)=-sinx-f(x) 即f"(x)+f(x)=-sinx 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件 y|
x=0
=f(0)=0 y’|
x=0
=f’(0)=1 对应齐次方程通解为Y=C
1
sinx+C
2
cosx,非齐次方程的特解可设为 y
*
=x(asinx+bcosx) 用待定系数法求得:a=0,b=[*],于是y
*
=[*]cosx,非齐次方程的通解为 y=Y+y
*
=C
1
sinx+C
2
cosx+[*]cosx 由初始条件定出C
1
=[*],C
2
=0,从而 f(x)=[*]sinx+[*]cosx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EbC4777K
0
考研数学三
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