2. 考研
  3. 设f(x)=sinx－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

设f(x)=sinx－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

admin2022-10-13  136
问题 设f(x)=sinx－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).
选项
答案由f(x)=sinx－x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt的两边对x求导得 f’(x)=cosx－∫0xf(t)dt 两边再对x求导得 f"(x)=－sinx－f(x) 即f"(x)+f(x)=－sinx 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，初始条件 y|x=0=f(0)=0 y’|x=0=f’(0)=1 对应齐次方程通解为Y=C1sinx+C2cosx，非齐次方程的特解可设为 y*=x(asinx+bcosx) 用待定系数法求得：a=0,b=[*],于是y*=[*]cosx，非齐次方程的通解为 y=Y+y*=C1sinx+C2cosx+[*]cosx 由初始条件定出C1=[*],C2=0，从而 f(x)=[*]sinx+[*]cosx
解析
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考研数学三

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