设f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

admin2022-10-13  60

问题 设f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

选项

答案由f(x)=sinx-x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt的两边对x求导得 f’(x)=cosx-∫0xf(t)dt 两边再对x求导得 f"(x)=-sinx-f(x) 即f"(x)+f(x)=-sinx 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件 y|x=0=f(0)=0 y’|x=0=f’(0)=1 对应齐次方程通解为Y=C1sinx+C2cosx,非齐次方程的特解可设为 y*=x(asinx+bcosx) 用待定系数法求得:a=0,b=[*],于是y*=[*]cosx,非齐次方程的通解为 y=Y+y*=C1sinx+C2cosx+[*]cosx 由初始条件定出C1=[*],C2=0,从而 f(x)=[*]sinx+[*]cosx

解析
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