2. 考研
  3. 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt． (1)证明F’(x)单调增加； (2)当x取何值时，F(x)取最小值； (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt． (1)证明F’(x)单调增加； (2)当x取何值时，F(x)取最小值； (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2016-06-27  48
问题 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt．
(1)证明F’(x)单调增加；
(2)当x取何值时，F(x)取最小值；
(3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．
选项
答案(1) F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt=∫-ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt =x∫-axf(t)dt-∫-axtf(t)dt+∫xatf(t)dt一x∫xaf(t)dt =x∫-axf(t)dt—∫-axtf(t)dt—∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， F’(x)=∫-axf(t)dt+xf(x)一xf(x)-xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x) =∫-axf(t)dt—∫xaf(t)dt． 所以F”(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数． (2)因为F’(0)=∫-a0f(x)dx一∫0af(x)dx，且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0,又因为F”(0)＞ 0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点． (3)由2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1，两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a， 于是 f’(x)一2xf(x)=2x， 解得 f(x)=[∫2xe-∫2xdxdx+C]e-∫2xdx=[*] 在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是 f(x)=[*]
解析
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考研数学三

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