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设α是n维列向量,已知αTα阶矩阵A=E-ααT,其中E为n阶单位矩阵,证明矩阵A不可逆.
设α是n维列向量,已知αTα阶矩阵A=E-ααT,其中E为n阶单位矩阵,证明矩阵A不可逆.
admin
2018-06-12
45
问题
设α是n维列向量,已知α
T
α阶矩阵A=E-αα
T
,其中E为n阶单位矩阵,证明矩阵A不可逆.
选项
答案
由于A=E-αα
T
,αα
T
=1,故有 A
2
(E-αα
T
)
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+(αα
T
)(αα
T
) =E-2αα
T
+α(α
T
α)α
T
=E-2αα
T
=E-αα
T
=A. ① 设n维列向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
.由α
T
α=[*]a
i
2
=1知,至少有一个分量a
i
≠0,即α是非零向量. 用反证法证明,如果矩阵A可逆,用A
-1
左乘①式的两边,得A=E.因为A=E-αα
T
,从而有E-αα
T
=E,故此时αα
T
=0,这与α为非零列向量矛盾,所以矩阵A不可逆.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SUg4777K
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考研数学一
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