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  3. 设α是n维列向量，已知αTα阶矩阵A＝E－ααT，其中E为n阶单位矩阵，证明矩阵A不可逆．

设α是n维列向量，已知αTα阶矩阵A＝E－ααT，其中E为n阶单位矩阵，证明矩阵A不可逆．

admin2018-06-12  22
问题 设α是n维列向量，已知αTα阶矩阵A＝E－ααT，其中E为n阶单位矩阵，证明矩阵A不可逆．
选项
答案由于A＝E－ααT，ααT＝1，故有 A2(E－ααT)2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋(ααT)(ααT) ＝E－2ααT＋α(αTα)αT＝E－2ααT＝E－ααT＝A． ① 设n维列向量α＝(a1，a2，…，an)T．由αTα＝[*]ai2＝1知，至少有一个分量ai≠0，即α是非零向量． 用反证法证明，如果矩阵A可逆，用A-1左乘①式的两边，得A＝E．因为A＝E－ααT，从而有E－ααT＝E，故此时ααT＝0，这与α为非零列向量矛盾，所以矩阵A不可逆．
解析
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考研数学一

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