2. 考研
  3. 已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-15  44
问题 已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
选项
答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*=e－x，y2*－y3*=2e－x－e2x． 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=e－x，y2=2(y1*－y3*)－(y2*－y3*)=e2x， 它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*=y1*－y2=xex． 因此该非齐次方程的通解是y=C1e－x+C2e2x+xex，其中C1，C2为任意常数． 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y"+py’+gy=f(x)． 它的相应特征根是λ1=－1，λ2=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2=0． 因此方程为y"－y’－2y=f(x)． 再将特解y4*=xex代入得 (x+2)ex－(x+1)ex－2xex=f(x)，即 f(x)=(1－2x)ex 因此方程为y"－y’－2y=(1－2x)ex．
解析
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考研数学一

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