已知y1*=xex+e2x,y2*=xex+e-x,y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.

admin2018-06-15  42

问题 已知y1*=xex+e2x,y2*=xex+e-x,y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*-y3*=e-x,y2*-y3*=2e-x-e2x. 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=e-x,y2=2(y1*-y3*)-(y2*-y3*)=e2x, 它们是线性无关的.为简单起见,我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*=y1*-y2=xex. 因此该非齐次方程的通解是y=C1e-x+C2e2x+xex,其中C1,C2为任意常数. 由通解结构易知,该非齐次方程是:二阶线性常系数方程 y"+py’+gy=f(x). 它的相应特征根是λ1=-1,λ2=2,于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0,即λ2-λ-2=0. 因此方程为y"-y’-2y=f(x). 再将特解y4*=xex代入得 (x+2)ex-(x+1)ex-2xex=f(x),即 f(x)=(1-2x)ex 因此方程为y"-y’-2y=(1-2x)ex

解析
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