已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-15 51

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^－x，y₃^*=xe^x+e^2x－e^－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*=e^－x，y₂^*－y₃^*=2e^－x－e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^－x，y₂=2(y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*－y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^－x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y"+py’+gy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=－1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ－2)=0，即λ²－λ－2=0．因此方程为y"－y’－2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x－(x+1)e^x－2xe^x=f(x)，即 f(x)=(1－2x)e^x 因此方程为y"－y’－2y=(1－2x)e^x．

解析

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考研数学一

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学一

设矩阵A=有三个线性无关特征向量λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P使得P-1AP=A，A是对角阵．

设A=，求实对称矩阵B，使A=B2．

设函数f(x)=，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

求方程的通解．

设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设函数f(u)有连续的一阶导数f(2)=1，且函数满足求z的表达式．

A为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有

计算行列式D4=之值．

IP地址的编码采用固定的______位二进制地址格式。()

房地产交易的基本制度中，()不仅关系着当事人之间的财产权益，而且也关系着国家的税费收益。

设备采购监理的监理资料应包括()内容。

合理调节作业速率的方法主要有()。

甲公司只生产一种产品，产品单价为10元，单位变动成本为6元，产品销量为2万件／年，固定经营成本为4万元／年，利息支出为2万元／年，甲公司的财务杠杆系数为()。

依据《继承法》规定，转继承人必须是()。

关于公文签发的权限，说法不正确的是()。

以太网100Base-FX标准规定的传输介质是()。

Afterathree-yearsurveyofthesocialandbehavioralsciences,acommitteeoftheNRChasconcludedthatthesesciencesarelo

(1)Paulwasdissatisfiedwithhimselfandwitheverything.Thedeepestofhislovebelongedtohismother.Whenhefelthehadh

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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设A=，求实对称矩阵B，使A=B2．

设函数f(x)=，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

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设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

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A为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有

计算行列式D4=之值．

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甲公司只生产一种产品，产品单价为10元，单位变动成本为6元，产品销量为2万件／年，固定经营成本为4万元／年，利息支出为2万元／年，甲公司的财务杠杆系数为()。

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