已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明： (Ⅰ)α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关； (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则α1－α2，α1－α3线性相关．

admin2018-06-12 133

问题已知α₁，α₂，α₃是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
(Ⅰ)α₁，α₂，α₃中任何两个解向量均线性无关；
(Ⅱ)如果α₁，α₂，α₃线性相关，则α₁－α₂，α₁－α₃线性相关．

选项

答案(Ⅰ)如果α₁，α₂线性相关，不妨设α₂＝kα₁，那么 Aα₂＝A(kα₁)＝kAα₁＝kb．又Aα₂＝b，于是k＝1，与α₁，α₂不同相矛盾． (Ⅱ)如果α₁，α₂，α₃线性相关，则有不全为0的k₁，k₂，k₃使k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝0，那么 (k₁＋k₂＋k₃)α₁＝k₂(α₁－α₂)＋k₃(α₁－α₃)．由于α₁是非齐次方程组Aχ＝b的解，而α₁－α₂，α₁－α₃是齐次方程组Aχ＝0的解，α₁不能由α₁－α₂，α₁－α₃线性表出，故必有k₁＋k₂＋k₃＝0，那么 k₂(α₁－α₂)＋k₃(α₁－α₃)＝0．此时k₂，k₃不全为0(否则亦有k₁＝0，与k₁，k₂，k₃不全为0相矛盾)，故α₁－α₂，α₁－α₃线性相关．

解析

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考研数学一

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已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明： (Ⅰ)α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关； (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则α1－α2，α1－α3线性相关．

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