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已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明: (Ⅰ)α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关; (Ⅱ)如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组3个不同的解,证明: (Ⅰ)α1,α2,α3中任何两个解向量均线性无关; (Ⅱ)如果α1,α2,α3线性相关,则α1-α2,α1-α3线性相关.
admin
2018-06-12
131
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ)α
1
,α
2
,α
3
中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ)如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则α
1
-α
2
,α
1
-α
3
线性相关.
选项
答案
(Ⅰ)如果α
1
,α
2
线性相关,不妨设α
2
=kα
1
,那么 Aα
2
=A(kα
1
)=kAα
1
=kb. 又Aα
2
=b,于是k=1,与α
1
,α
2
不同相矛盾. (Ⅱ)如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则有不全为0的k
1
,k
2
,k
3
使k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0,那么 (k
1
+k
2
+k
3
)α
1
=k
2
(α
1
-α
2
)+k
3
(α
1
-α
3
). 由于α
1
是非齐次方程组Aχ=b的解,而α
1
-α
2
,α
1
-α
3
是齐次方程组Aχ=0的解,α
1
不能由α
1
-α
2
,α
1
-α
3
线性表出,故必有k
1
+k
2
+k
3
=0,那么 k
2
(α
1
-α
2
)+k
3
(α
1
-α
3
)=0. 此时k
2
,k
3
不全为0(否则亦有k
1
=0,与k
1
,k
2
,k
3
不全为0相矛盾), 故α
1
-α
2
,α
1
-α
3
线性相关.
解析
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0
考研数学一
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