2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明： (Ⅰ)α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关； (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则α1－α2，α1－α3线性相关．

已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明： (Ⅰ)α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关； (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则α1－α2，α1－α3线性相关．

admin2018-06-12  145
问题 已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
    (Ⅰ)α1，α2，α3中任何两个解向量均线性无关；
    (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则α1－α2，α1－α3线性相关．
选项
答案(Ⅰ)如果α1，α2线性相关，不妨设α2＝kα1，那么 Aα2＝A(kα1)＝kAα1＝kb． 又Aα2＝b，于是k＝1，与α1，α2不同相矛盾． (Ⅱ)如果α1，α2，α3线性相关，则有不全为0的k1，k2，k3使k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，那么 (k1＋k2＋k3)α1＝k2(α1－α2)＋k3(α1－α3)． 由于α1是非齐次方程组Aχ＝b的解，而α1－α2，α1－α3是齐次方程组Aχ＝0的解，α1不能由α1－α2，α1－α3线性表出，故必有k1＋k2＋k3＝0，那么 k2(α1－α2)＋k3(α1－α3)＝0． 此时k2，k3不全为0(否则亦有k1＝0，与k1，k2，k3不全为0相矛盾)， 故α1－α2，α1－α3线性相关．
解析
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考研数学一

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