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设三阶矩阵A的特征值是0,1,—1,则下列选项中不正确的是( )
设三阶矩阵A的特征值是0,1,—1,则下列选项中不正确的是( )
admin
2020-03-24
61
问题
设三阶矩阵A的特征值是0,1,—1,则下列选项中不正确的是( )
选项
A、矩阵A—E是不可逆矩阵
B、矩阵A+E和对角矩阵相似
C、矩阵A属于1与—1的特征向量相互正交
D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成
答案
C
解析
因为矩阵A的特征值是0,1,—1,所以矩阵A—E的特征值是—1,0,—2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值,所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1,2,0,矩阵A+E有三个不同的特征值,所以A+E可以相似对角化。(或由A~A
A +E—A +E而知A+E可相似对角化)。
由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n一r(A)=3—2=1个解向量构成。
选项C的错误在于,若A是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交,而一般n阶矩阵,不同特征值的特征向量仅线性无关并不一定正交。
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考研数学三
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