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  3. 设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是（ ）

设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是（ ）

admin2020-03-24  39
问题 设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是（     ）
选项 A、矩阵A—E是不可逆矩阵
B、矩阵A+E和对角矩阵相似
C、矩阵A属于1与—1的特征向量相互正交
D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成
答案C
解析 因为矩阵A的特征值是0，1，—1，所以矩阵A—E的特征值是—1，0，—2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化。（或由A～AA +E—A +E而知A+E可相似对角化）。
由矩阵A有一个特征值等于0可知r（A）=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n一r（A）=3—2=1个解向量构成。
选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅线性无关并不一定正交。
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考研数学三

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