2. 考研
  3. (2009年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)． (Ⅱ)证明：若函数f(χ)在χ＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(χ

(2009年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)． (Ⅱ)证明：若函数f(χ)在χ＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(χ

admin2021-01-19  55
问题 (2009年)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．
    (Ⅱ)证明：若函数f(χ)在χ＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(χ)＝A，则f′+(0)存在，且f′+(0)＝A．
选项
答案(Ⅰ)取F(χ)＝f(χ)－[*](χ－a) 由题意知F(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 [*] 根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F′(ξ）＝f′(ξ）－[*]＝0，即 f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)． (Ⅱ)对于任意的t∈(0，δ)，函数f(χ)在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理f′+(0)＝[*]，其中ξ∈(0，t)． 由于[*]f′(t)＝A，且当t→0+时，ξ→0+，所以[*]f′(ξ)＝A，故f′+(0)存在，且f′+(0)＝A．
解析
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考研数学二

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