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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
admin
2019-08-12
42
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b),∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt。
证明∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
选项
答案
令F(x)=f(x)一g(x),G(x)=∫
a
x
F(t)dt,由题设G(x)≥0,x∈[a,b],且 G(a)=G(b)=0,G
’
(x)=F(x)。 从而 ∫
a
b
xF(x)dx=∫
a
b
xdG(x)=xG(x)|
a
b
一∫
a
b
G(x)dx=一∫
a
b
G(x)dx。 由于G(x)≥0,x∈[a,b],故有-∫
a
b
G(x)dx≤0,即∫
a
b
xF(x)dx≤0。因此可得 ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bcN4777K
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考研数学二
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