2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

admin2019-08-12  59
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。
证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
选项
答案令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫axF(t)dt，由题设G(x)≥0，x∈[a，b]，且 G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。 从而 ∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。 由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有－∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得 ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
解析
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考研数学二

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