2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．

admin2018-06-27  33
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时
    ｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*](x＜ξ＜x+1)， f(x-1)=f(x)-f’(x)+[*]f’’’(η)(x-1＜η＜x)， 两式相加并移项即得 f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[*][f’’’(η)-2f’’’(ξ)]， 则当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+[*]M3． 2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗日中值定理，有 f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)． [*]｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1]). 综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学二

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