2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明β不是A的特征向量；

设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明β不是A的特征向量；

admin2014-04-16  114
问题 设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
证明β不是A的特征向量；
选项
答案已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3．若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，从而得(μ一λ1)ξ1+(μ一λ2)ξ2+(μ一λ3)ξ3=0．ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．
解析
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考研数学二

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