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设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明β不是A的特征向量；
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明β不是A的特征向量；
admin
2014-04-16
76
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
证明β不是A的特征向量；
选项
答案
已知Aβ=A(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
．若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有Aβ=μβ=μ(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，从而得(μ一λ
1
)ξ
1
+(μ一λ
2
)ξ
2
+(μ一λ
3
)ξ
3
=0．ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，从而得λ
1
=λ
2
=λ
3
=μ，这和λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同矛盾．故β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
不是A的特征向量．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aX34777K
0
考研数学二
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