设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

admin2018-04-11 61

问题设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x²＜y＜

}上服从均匀分布，令

(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
(Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由；
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

选项

答案(Ⅰ)区域D的面积S=∫₀¹[*]，则(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)P{U=0}=P{X＞Y}=∫₀¹dx[*] P{U=1}—1—P{U一0}=[*]， [*] 因为P{U=0，X≤[*]}≠P{U=0}．P{x≤[*]}，所以U与X不独立。 (Ⅲ)由全概率公式可得 F(z)=P{Z≤z}=P{X+U≤z} =P{X+U≤z，X≤Y}+P{X+U≤z，X＞y} =P{X≤z—1，X≤Y}+P{X≤z，X＞Y}。当 0≤ z ＜ 1时，F(z)= P{X≤ z，X＞ Y} =∫₀^xdx[*]z²—z³；当 1≤ z ＜ 2时，F(z) = P{X≤ z—1，X≤ Y}+P{X≤z，X＞ Y} [*]

解析

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考研数学一

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设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

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