2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

admin2018-04-11  125
问题 设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令

(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
(Ⅱ)问U与X是否相互独立？并说明理由；
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
选项
答案(Ⅰ)区域D的面积S=∫01[*]，则(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)P{U=0}=P{X＞Y}=∫01dx[*] P{U=1}—1—P{U一0}=[*]， [*] 因为P{U=0，X≤[*]}≠P{U=0}．P{x≤[*]}，所以U与X不独立。 (Ⅲ)由全概率公式可得 F(z)=P{Z≤z}=P{X+U≤z} =P{X+U≤z，X≤Y}+P{X+U≤z，X＞y} =P{X≤z—1，X≤Y}+P{X≤z，X＞Y}。 当 0≤ z ＜ 1时，F(z)= P{X≤ z，X＞ Y} =∫0xdx[*]z2—z3； 当 1≤ z ＜ 2时，F(z) = P{X≤ z—1，X≤ Y}+P{X≤z，X＞ Y} [*]
解析
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考研数学一

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