设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E．证明：B的列向量组线性无关．

admin2020-03-05 15

问题设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E．证明：B的列向量组线性无关．

选项

答案方法一证B的列向量线性无关，即证B列满秩，即证r(B)=n 因r(B)≤n(n≤m)，又r(B)≥r(AB)=r(E)=n．故r(B)=n，所以B的列向量组线性无关．方法二设B=[β₁，β₂，…，β_n]，其中β_i(i=1，2，…，n)是B按列分块后的列向量．设x₁β₁+x₂β₂+…+x_nβ_n=0，即 [*] 两边左乘A，则得 ABX=EX=X=0，所以β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析

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