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  3. 设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E．证明：B的列向量组线性无关．

设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E．证明：B的列向量组线性无关．

admin2020-03-05  46
问题 设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E．证明：B的列向量组线性无关．
选项
答案方法一 证B的列向量线性无关，即证B列满秩，即证r(B)=n 因r(B)≤n(n≤m)，又r(B)≥r(AB)=r(E)=n．故r(B)=n，所以B的列向量组线性无关． 方法二 设B=[β1，β2，…，βn]，其中βi(i=1，2，…，n)是B按列分块后的列向量． 设x1β1+x2β2+…+xnβn=0，即 [*] 两边左乘A，则得 ABX=EX=X=0， 所以β1，β2，…，βn线性无关．
解析
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考研数学一

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