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设A是n×m阶矩阵,B是m×n矩阵,E是n阶单位阵,若AB=E.证明:B的列向量组线性无关.
设A是n×m阶矩阵,B是m×n矩阵,E是n阶单位阵,若AB=E.证明:B的列向量组线性无关.
admin
2020-03-05
28
问题
设A是n×m阶矩阵,B是m×n矩阵,E是n阶单位阵,若AB=E.证明:B的列向量组线性无关.
选项
答案
方法一 证B的列向量线性无关,即证B列满秩,即证r(B)=n 因r(B)≤n(n≤m),又r(B)≥r(AB)=r(E)=n.故r(B)=n,所以B的列向量组线性无关. 方法二 设B=[β
1
,β
2
,…,β
n
],其中β
i
(i=1,2,…,n)是B按列分块后的列向量. 设x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
n
β
n
=0,即 [*] 两边左乘A,则得 ABX=EX=X=0, 所以β
1
,β
2
,…,β
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bfS4777K
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考研数学一
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