[2001年] 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50 kg，标准差为5 kg，若用最大载重量为5 t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977．(ф(2)=0．977，其中ф(

admin2019-04-08 26

问题 [2001年] 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50 kg，标准差为5 kg，若用最大载重量为5 t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977．(ф(2)=0．977，其中ф(x)是标准正态分布函数．)

选项

答案设X_i(i=1，2，…，n)是装运的第i箱的重量(单位：kg)，所求箱数为n．由题设知X₁，X₂，…，X_n为独立同分布的随机变量，而n箱的重量为S_n=X₁+X₂+…+X_n，是n个独立同分布的随机变量之和．由题设知E(X₁)=50，[*]，于是 D(X_i)=25=σ²．又 E(S_n)=50n，[*]即 D(S_n)=25n．根据列维一林德伯格中心极限定理，S_n近似服从正态分布，且有S_n [*] N(50n，25n)．于是 [*] 因而 [*]．令[*]，代入不等式中得到10x²+2x一1000≤0，化为 [*] 因x≥0，故[*]，于是 [*] 取整数，即知每辆车最多可装98箱．

解析

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考研数学一

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