设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )．

admin2020-06-05 10

问题设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A^*的特征值之一是( )．

选项 A、λ^﹣1｜A｜^*
B、λ^﹣1｜A｜
C、λ｜A｜
D、λ｜A｜^*

答案B

解析方法一
设向量x(x≠0)是与λ相应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义Ax＝λx，两边同时左乘A^*，并考虑到A^*A＝｜A｜E，于是A^*Ax＝A^*(λx)，即｜A｜x＝λA^*x．从而A^*x＝

，由此可见A^*有特征值

＝λ^﹣1｜A｜．
方法二
因矩阵A可逆，故有
Ax＝λx→A^﹣1x＝

→｜A｜A^﹣1X＝

考虑到｜A｜A^﹣1＝A^*，可得A^*x＝

，即

是A^*的特征值．

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考研数学一

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