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试用有限覆盖定理证明聚点定理.
试用有限覆盖定理证明聚点定理.
admin
2022-11-23
22
问题
试用有限覆盖定理证明聚点定理.
选项
答案
设S是实数轴上的一个有界无限点集,并且S[*][-M,M].假设S没有聚点,则任意x∈[-M,M]都不是S的聚点,于是存在正数δ
x
,使得U(x;δ
x
)中只有S中有限多个点.而开区间集H={U(x;δ
x
|x∈[-M,M]}是[-M,M]的一个开覆盖.由有限覆盖定理知,存在[-M,M]的一个有限覆盖,设为[*],它们也是S的一个覆盖.因为每一个U[*](i=1.2,…,m)中只含有S中的有限多个点,故S是一个有限点集.此与题设矛盾.故实数轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.
解析
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考研数学一
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