试用有限覆盖定理证明聚点定理．

admin2022-11-23 40

问题试用有限覆盖定理证明聚点定理．

选项

答案设S是实数轴上的一个有界无限点集，并且S[*][-M，M]．假设S没有聚点，则任意x∈[-M，M]都不是S的聚点，于是存在正数δ_x，使得U(x；δ_x)中只有S中有限多个点．而开区间集H={U(x；δ_x｜x∈[-M，M]}是[-M，M]的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在[-M，M]的一个有限覆盖，设为[*]，它们也是S的一个覆盖．因为每一个U[*](i=1．2，…，m)中只含有S中的有限多个点，故S是一个有限点集．此与题设矛盾．故实数轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．

解析

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考研数学一

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