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求f(x,y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)上的最大值和最小值.
求f(x,y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)上的最大值和最小值.
admin
2019-02-23
66
问题
求f(x,y)=x+xy一x
2
一y
2
在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)上的最大值和最小值.
选项
答案
这是闭区域上求最值的问题.由于函数f(x,y)=x+xy一x
2
一y
2
在闭区域D上连续,所以一定存在最大值和最小值. 首先求f(x,y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D内部的极值: 解方程组[*].由 g(x,y)=(f"
xy
)
2
一f"
xx
f"
yy
=一3 得f(x,y)=x+xy一x
2
—y
2
在闭区域D内部的极大值[*]. 再求f(x,y)在闭区域D边界上的最大值与最小值: 这是条件极值问题,边界直线方程即为约束条件. 在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1),于是拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x+xy—x
2
一y
2
+λy, 解方程组[*] 在下面边界的端点(0,0),(1,0)处f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以,下面边界的最大值为[*],最小值为0. 同理可求出: 在上面边界上的最大值为一2,最小值为一4; 在左面边界上的最大值为0,最小值为一4; 在右面边界上的最大值为[*],最小值为一2. 比较以上各值,可知函数f(x,y)=x+xy一x
2
一y
2
在闭区域D上的最大值为[*],最小值为一4.
解析
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考研数学二
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