已知f(π)=π，∫0π[f(x)+f”(x)]sinxdx=2，则f(0)=________。

admin2021-04-16 72

问题已知f(π)=π，∫₀^π[f(x)+f”(x)]sinxdx=2，则f(0)=________。

选项

答案2-π

解析 ∫₀^πf”(x)sinxdx=∫₀^πsinxd[f’(x)]
=sinxf’(x)｜₀^π-∫₀^πf’(x)cosxdx=∫₀^πcosxd[f(x)]
=-f(x)cosx｜₀^π-∫₀^πf(x)sinxdx
=f(0)+f(π)-∫₀^πf(x)sinxdx。
故∫₀^π[f(x)+f”(x)]sinxdx=f(0)+f(π)=2，又f(π)=π，于是f(0)=2-π。

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