2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，A2＋A－2E＝0且｜A｜＝－2，又存在α＝，使得A*α＝α，求矩阵A．

设A为3阶实对称矩阵，A2＋A－2E＝0且｜A｜＝－2，又存在α＝，使得A*α＝α，求矩阵A．

admin2021-03-16  63
问题 设A为3阶实对称矩阵，A2＋A－2E＝0且｜A｜＝－2，又存在α＝，使得A*α＝α，求矩阵A．
选项
答案令AX＝λX(X≠0)， 由(A2＋A－2E)X＝(λ2＋λ－2)X＝0得λ2＋λ－2＝0，则λ＝1或λ＝－2， 因为｜A｜＝－2，所以A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2， A*的特征值为[*] 因为A*α＝α，所以α为A*的属于特征值1的特征向量，所以α为矩阵A的属于特征值 λ3＝－2的特征向量，令α3＝α； 设X＝[*]为矩阵A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量， 因为AT＝A，所以αTX＝0，即－x1－x2＋x3＝0，得 矩阵A的属于特征值λ1＝λ2＝1的线性无关的特征向量为α1＝[*] 令P＝[*]，由P－1AP＝[*] 得 A＝P[*]
解析
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考研数学二

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