设A，B为同阶矩阵．当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2021-01-19 55

问题设A，B为同阶矩阵．
当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

选项

答案若A，B皆为实对称矩阵，且A，B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，由命题2．5．3．1(2)知A与B相似．事实上，因A与B有相同的特征值，记其特征值为λ_i(i=l，2，…，n)，又因实对称矩阵必可对角化，所以存在可逆矩阵P与Q，使得 P^-1AP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)，Q^-1BP=diag(λ₁，λ₂．…，λ_n)．于是P^-1AP=Q^-1BQ．令S=PQ^-1，则矩阵S可逆，使得S^-1AS=B，故A与B相似．

解析

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