2. 考研
  3. 设A，B为同阶矩阵． 当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

设A，B为同阶矩阵． 当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2021-01-19  100
问题 设A，B为同阶矩阵．
当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
选项
答案若A，B皆为实对称矩阵，且A，B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，由命题2．5．3．1(2)知A与B相似．事实上，因A与B有相同的特征值，记其特征值为λi(i=l，2，…，n)，又因实对称矩阵必可对角化，所以存在可逆矩阵P与Q，使得 P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)，Q-1BP=diag(λ1，λ2．…，λn)． 于是P-1AP=Q-1BQ．令S=PQ-1，则矩阵S可逆，使得S-1AS=B，故A与B相似．
解析
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考研数学二

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