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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
admin
2021-01-19
54
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
选项
答案
(Ⅰ)记[*] 由于 f (x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+ (b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
)
2
= 2[(x
1
，x
2
，x
3
)[*](a
1
，a
2
，a
3
)[*]+[(x
1
，x
2
，x
3
)[*](b
1
，b
2
，b
3
)[*]] =2x
T
(αα
T
)x+x
T
(ββ
T
)x =x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x
T
， 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα
T
+ββ
T
． (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α=1，β
T
β=1，α
T
β=β
T
α=0，所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α， Aβ(2αα
T
+ββ
T
)β=β， 于是λ
1
=2，λ
2
=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2，所以λ
3
=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质．本题证明中多次用到了向量内积的可交换性(对称性)，例如(Ⅰ)中a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
既可写成(x
1
，x
2
，x
3
)
，也可写成(a
1
，a
2
，a
3
)
，即x
T
α=α
T
x，从而得 (a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
=x
T
αα
T
x=x
T
(αα
T
)x，本题(Ⅱ)中利用3阶矩阵A的秩小于3从而得到A有特征值0的方法较为简单，另一种方法是：注意也可以将A的行列式写成|A|=|2a
1
α+b
1
β 2a
2
α+b
2
β 2a
3
α+b
3
β|，然后利用行列式关于列的可加性，可将A的行列式表成8个行列式之和，但没有必要具体写，出，因为其中每一个行列式至少有两列成比例，从而都等于0，于是得A的行列式为零，由此也可得到λ
3
=0是矩阵A的特征值．
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0
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