首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
admin
2021-01-19
54
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,记
选项
答案
(Ⅰ)记[*] 由于 f (x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+ (b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
)
2
= 2[(x
1
,x
2
,x
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]+[(x
1
,x
2
,x
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*]] =2x
T
(αα
T
)x+x
T
(ββ
T
)x =x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x
T
, 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵,所以二次型f的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
.由于α,β正交且为单位向量,即α
T
α=1,β
T
β=1,α
T
β=β
T
α=0,所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α, Aβ(2αα
T
+ββ
T
)β=β, 于是λ
1
=2,λ
2
=1是矩阵A的特征值.又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2,所以λ
3
=0是矩阵A的特征值.由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值,故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质.本题证明中多次用到了向量内积的可交换性(对称性),例如(Ⅰ)中a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
既可写成(x
1
,x
2
,x
3
)
,也可写成(a
1
,a
2
,a
3
)
,即x
T
α=α
T
x,从而得 (a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
=x
T
αα
T
x=x
T
(αα
T
)x,本题(Ⅱ)中利用3阶矩阵A的秩小于3从而得到A有特征值0的方法较为简单,另一种方法是:注意也可以将A的行列式写成|A|=|2a
1
α+b
1
β 2a
2
α+b
2
β 2a
3
α+b
3
β|,然后利用行列式关于列的可加性,可将A的行列式表成8个行列式之和,但没有必要具体写,出,因为其中每一个行列式至少有两列成比例,从而都等于0,于是得A的行列式为零,由此也可得到λ
3
=0是矩阵A的特征值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/by84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
曲线的渐近线方程是_______.
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x),其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
已知函数z=u(x,y),且=0,若z=z(x,y)满足方程十z=0,则a=________,b=________.
设u=f(x2+y2,z),其中f二阶连续可偏导,且函数z=z(x,y)由xy+ez=xz确定,求
由方程sin(xy)-ln=1所确定的曲线y=y(χ)在χ=0处的切线方程为_______.
设A是3阶矩阵,有特征值λ1=1,λ2=-1,λ3=0,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,k1,k2是任意常数,则非齐次方程组Ax=ξ1﹢ξ2z的通解是()
设矩阵A满足A2+A一4E=O,其中E为单位矩阵,则(A一E)一1=________.
已知函数在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程和法线方程.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+4χ22+4χ32+2λχ1χ2-2χ1χ3+4χ2χ3.当λ满足什么条件时f(χ1,χ2,χ3)正定?
设f(x)=∫01-cosxsint2dt,g(x)=,则当x→0时,f(x)是g(x)的().
随机试题
钩体病首剂青霉素治疗后2~4小时突起发冷、寒战、高热,全身痛及头痛,心率、呼吸加快,严重者发生休克钩体病患者早期出现高热、全身酸痛的机制是由于
患者,女,38岁。眩晕,自汗;心悸,失眠,多梦,腹胀便溏,食少,体倦,面色无华。其病理变化是
A.凡未被病原微生物污染的区域B.经灭菌处理且未被污染的区域C.用物理方法清除物体表面的污垢D.通过物理或化学方法灭菌后保持无菌状态的物品E.经过灭菌处理但又被污染的区域无菌区()
长江中游某河段为典型的汊道浅滩,经常出现碍航现象,严重影响船舶航行安全,必须进行治理。采取的工程措施为护滩和筑坝。某施工单位承担了该整治工程的施工任务,并按照设计文件的要求进行施工,当完成系结压载软体排护底分项工程后,施工单位要求监理工程师进行质量评定,监
小学生根据课文描述想象出雷锋叔叔的模样,这属于()。
奥组委总部设在()。
在一些没有护堤常识的人看来,那细小的裂缝也许是_______的,老农也_______太大惊小怪了吧。填入横线部分最恰当的一项是()。
WTO的服务贸易规则中规定的商业存在是指服务提供者在外国建立商业机构,为消费者服务。()
在信息系统工程监理过程中,专家发挥了重要的作用和价值。以下_________不属于专家的职责。
A、Hesoldhisinventiontomakemoney.B、Hepreferredinventiontoteaching.C、Hewashonoredwithanawardforhisteachingmet
最新回复
(
0
)