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求下列曲面积分: (I)+xzdydz+z2dzdx,其中∑是x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h>0)所截下部分的外侧(见图9.60); (Ⅱ)其中S是由曲线(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面,取外侧.
求下列曲面积分: (I)+xzdydz+z2dzdx,其中∑是x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h>0)所截下部分的外侧(见图9.60); (Ⅱ)其中S是由曲线(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面,取外侧.
admin
2017-07-28
36
问题
求下列曲面积分:
(I)
+xzdydz+z
2
dzdx,其中∑是x
2
+z
2
=a
2
在x≥0的一半中被y=0和y=h(h>0)所截下部分的外侧(见图9.60);
(Ⅱ)
其中S是由曲线
(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面,取外侧.
选项
答案
(I)本题实际上可以分三个积分计算,即I=I
1
+I
2
+I
3
. 将∑在yz平面上的投影记为D
yz
,则D
yz
::0≤y≤h,一a≤z≤a.注意到∑的法线方向与x轴正方向夹锐角,则[*] 此时已化成了二重积分,注意到D
yz
关于y轴对称,而被积函数为z的奇函数,故I
2
=0.由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面积为零),故[*]而 [*] (Ⅱ)曲面S的方程是:[*](y
2
+z
2
≤a
2
),见图9.61.S在yz平面上的投影区域D
yz
易求, [*] S的法向量与x轴正向成钝角,于是 [*]
解析
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0
考研数学一
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