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  3. (2008年试题，20)(I)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ζ∈[a，b]，使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1，3)，使得φ’’(η)

(2008年试题，20)(I)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ζ∈[a，b]，使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1，3)，使得φ’’(η)

admin2013-12-18  79
问题 (2008年试题，20)(I)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ζ∈[a，b]，使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1，3)，使得φ’’(η)<0．
选项
答案(I)设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b>a)上的最大值和最小值，则有[*]不等式两边同除以(b一a)，得到[*]显然[*]是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的，根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函f(x)在该点处的函数值和[*]相等，即[*](a≤ξ≤b)，等式两边同乘(b一a)可得[*](Ⅱ)由积分中值定理可得，至少存在一点η∈(2，3)，使得[*]所以有φ(2)>φ(1)，φ(2)>φ(η)因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得[*]且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得φ’(ξ2)[*]再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得[*]
解析
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考研数学二

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