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(2008年试题,20)(I)证明积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则存在ζ∈[a,b],使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1,3),使得φ’’(η)
(2008年试题,20)(I)证明积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则存在ζ∈[a,b],使(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1)证明至少存在一点ζ∈(1,3),使得φ’’(η)
admin
2013-12-18
71
问题
(2008年试题,20)(I)证明积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则存在ζ∈[a,b],使
(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1)
证明至少存在一点ζ∈(1,3),使得φ
’’
(η)<0.
选项
答案
(I)设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a,b](b>a)上的最大值和最小值,则有[*]不等式两边同除以(b一a),得到[*]显然[*]是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的,根据闭区间上连续函数的介值定理可知,在区间[a,b]上至少存在一点ξ,使得函f(x)在该点处的函数值和[*]相等,即[*](a≤ξ≤b),等式两边同乘(b一a)可得[*](Ⅱ)由积分中值定理可得,至少存在一点η∈(2,3),使得[*]所以有φ(2)>φ(1),φ(2)>φ(η)因为φ(x)有二阶导数,所以由拉格朗日微分中值定理可知,至少存在一点ξ
1
∈(1,2),使得[*]且至少存在一点ξ
2
∈(2,η),使得φ
’
(ξ
2
)[*]再由拉格朗日微分中值定理可知,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得[*]
解析
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考研数学二
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