2. 考研
  3. 设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )。

设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )。

admin2021-01-31  72
问题 设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为(       )。
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案C
解析 令Ax=λX，则A2X=λ2X，
因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，
A2=αβT×αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，
因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故rA≥1；
又rA=r(αβT)≤r(α)=1，所以rA=1，
因为4-r(0E-A)=4-rA=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C。
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考研数学三

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