设α,β为四维非零的正交向量,且A=αβT,则A的线性无关的特征向量个数为( )。

admin2021-01-31  47

问题 设α,β为四维非零的正交向量,且A=αβT,则A的线性无关的特征向量个数为(       )。

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析 令Ax=λX,则A2X=λ2X,
因为α,β正交,所以αTβ=βTα=0,
A2=αβT×αβT=0,于是λ2X=0,故λ1234=0,
因为α,β为非零向量,所以A为非零矩阵,故rA≥1;
又rA=r(αβT)≤r(α)=1,所以rA=1,
因为4-r(0E-A)=4-rA=3,所以A的线性无关的特征向量是3个,选C。
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