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[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 证明行列式|A|=(n+1)an;
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 证明行列式|A|=(n+1)an;
admin
2021-01-25
73
问题
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中
证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
选项
答案
证一 利用三对称行列式的结论证之.由命题2.1.1.2知 [*] 故|A|=|A|
T
=(n+1)a
n
. 证二 用数学归纳法证之. 当n=1时,|A|=|2a|=2a=(1+1)a
1
=2a,结论成立. 当n=2时,[*]结论也成立. 假设结论对n-2,n-1阶行列式成立,则|A|
n-2
=(n-1)a
n-2
,|A|
n-1
=na
n-1
.将|A|按第1行展开得到 |A|
n
=2a|A|
n-1
-a
2
|A|
n-2
=2-2a·na
n-1
-a
2
·(n-1)a
n-2
=(n+1)a
n
, 即结论对n阶行列式仍成立.由数学归纳法原理知,对任何正整数n,都有|A|=(n+1)a
n
. 证三 为方便计,令D
n
=|A|.将其按第1列展开得到D
n
=2aD
n-1
-a
2
D
n-2
, 即 D
n
-aD
n-1
=aD
n-1
-a
2
D
n-2
=a(D
n-1
-aD
n-2
)=a·a(D
n-2
-aD
n-3
) =a
2
(D
n-2
-aD
n-3
)=…=a
n-2
(D
2
-aD
1
)=a
n
, 故 D
n
=a
n
+aD
n-1
=a
n
+a(a
n-1
+aD
n-2
)=2a
n
+a
2
D
n-2
=… =(n-2)a
n
+a
n-2
D
2
=(n-2)a
n
+a
n-2
(a
2
+aD
1
) =(n-1)a
n
+a
n-1
D
1
=(n-1)a
n
+a
n-1
·2a=(n+1)a
n
. 证四 利用行列式性质化成三角行列式求之. [*] (注:命题2.1.1.2 设n阶三对称行列式[*]则 [*])
解析
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考研数学三
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