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[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中 证明行列式|A|=(n+1)an；

admin2021-01-25  70
问题 [2008年]  设n元线性方程组AX=b，其中
           
证明行列式|A|=(n+1)an；
选项
答案证一 利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．2知 [*] 故|A|=|A|T=(n+1)an． 证二 用数学归纳法证之． 当n=1时，|A|=|2a|=2a=(1+1)a1=2a，结论成立． 当n=2时，[*]结论也成立． 假设结论对n－2，n－1阶行列式成立，则|A|n-2=(n－1)an－2，|A|n－1=nan-1．将|A|按第1行展开得到 |A|n=2a|A|n－1－a2|A|n-2=2－2a·nan-1－a2·(n－1)an-2=(n+1)an， 即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n，都有|A|=(n+1)an． 证三 为方便计，令Dn=|A|．将其按第1列展开得到Dn=2aDn－1－a2Dn－2， 即 Dn－aDn－1=aDn－1－a2Dn－2=a(Dn－1－aDn－2)=a·a(Dn－2－aDn－3) =a2(Dn－2－aDn－3)=…=an－2(D2－aD1)=an， 故 Dn=an+aDn-1=an+a(an－1+aDn-2)=2an+a2Dn－2=… =(n－2)an+an－2D2=(n－2)an+an-2(a2+aD1) =(n－1)an+an－1D1=(n－1)an+an-1·2a=(n+1)an． 证四 利用行列式性质化成三角行列式求之． [*] (注：命题2．1．1．2 设n阶三对称行列式[*]则 [*])
解析
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考研数学三

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