已知3阶方阵A的特征值为1，－2，3，则A的行列式∣A∣中元素a11，a22，a33的代数余子式的和A11＋A22＋A33＝( )

admin2021-04-07 31

问题已知3阶方阵A的特征值为1，－2，3，则A的行列式∣A∣中元素a₁₁，a₂₂，a₃₃的代数余子式的和A₁₁＋A₂₂＋A₃₃＝( )

选项 A、－4
B、4
C、－5
D、5

答案C

解析 ∣A∣＝1×(－2)×3＝－6≠0，
故A可逆，且A^*＝∣A∣∣A^－1∣＝－6A^－1，所以A^－1的特征值为1，－1／2，1／3，A^*的特征值为
λ₁^*＝(－6)×1＝－6，λ₂^*＝(－6)×(－1／2)＝3，
λ₃^*＝(－6)×1／3＝－2，
故A₁₁＋A₂₂＋A₃₃＝tr(A^*)＝λ₁^*＋λ₂^*＋λ₁^*
＝(－6)＋3＋(－2)＝－5。

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