设y1=ex，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为__________．

admin2019-08-11 67

问题设y₁=e^x，y₂=x²为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为__________．

选项

答案[*]

解析由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．
方法一  设所求的二阶齐次线性微分方程为
               y"+p(x)y’+q(x)y=0．
分别将y₁=e^x，y₂=x²代入，得

解得

所求方程为

方法二  由于y₁=e^x与y₂=x²线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为
               y=C₁e^x+C₂x²， ①
               y’=C₁e²+2C₂x， ②
               y"=C₁e^x+2C₂． ③
由式①，式②，式③消去C₁与C₂便得如上所填．

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