微分方程yy”-y’2=y4满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解是________．

admin2022-07-21 81

问题微分方程yy”-y’²=y⁴满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解是________．

选项

答案[*]

解析令y’=p，则y’’=p’=

，原方程可转化为yp·

-p²=y⁴．当y≠0时，

=2y³，这是关于p²的一阶线性微分方程
p²=

=e^2lny(2∫y³e^-2lnydy+C₁)=y²(2∫ydy+C₁)
=y²(y²+C₁)
代入y=1时，y’=1，得C₁=0，即：p²=y⁴，故y²=p，dy/y²=dx，-1/y=x+C₂，得y=

．又y(0)=1，即1=-1/C₂，得C₂=-1，于是

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