[2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明：级数(xn+1一xn)绝对收敛；

admin2019-04-08 49

问题 [2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜

，设数列{x_n}满足x_n+1=f(x_n)(n=1，2，…)，证明：
级数

(x_n+1一x_n)绝对收敛；

选项

答案利用题设、拉格朗日中值定理及递推法得到｜x_n+1一x_n｜=｜f(x_n)一f(x_n-1)｜=｜f’(ξ₁)(x_n一x_n-1)｜ (ξ₁介于x_n与x_n-1之间) ＜[*] ＜[*] (ξ₂介于x_n-1与x_n-1之间) ＜… ＜[*]｜x₂一x₁｜．因[*]，收敛，故[*](x_n+1一x_n)绝对收敛．

解析

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考研数学一

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