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设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得ξf(ξ)= ∫ξ1 f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得ξf(ξ)= ∫ξ1 f(x)dx.
admin
2018-04-15
38
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)非负,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得ξf(ξ)= ∫
ξ
1
f(x)dx.
选项
答案
令F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=1.∫
1
1
f(t)dt=0.由洛尔定理,存在点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0,即∫
1
ξ
f(t)dt+ξf(ξ)=0,故ξf(ξ)一∫
ξ
1
f(x)dx=0.
解析
欲证ξf(ξ)=∫
ξ
1
f(x)dx=>xf(x)=∫
x
1
f(t)dt,如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,则F(0)=0f(0)一∫
0
1
f(t)dt出≤0,F(1)=1.f(1)-∫
1
1
f(t)dt=f(1)≥0,难以验证F(x)在[0,1]上有F(0)<0,F(1)>0.于是,可作辅助函数F(x),使得
F’(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt,
即 F’(x)=[x∫
1
x
f(t)dt]’,
即 F(x)=x∫
1
x
f(t)dt,
再用洛尔定理证明.
用辅助函数法证明存在点ξ,使得F(ξ)=0,若将待证结论中的ξ换为x不能作为辅助函数时,可考虑用其原函数作为辅助函数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Gar4777K
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考研数学一
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