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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)= ∫ξ1 f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)= ∫ξ1 f(x)dx．

admin2018-04-15  44
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)= ∫ξ1 f(x)dx．
选项
答案令F(x)=x∫1xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1．∫11f(t)dt=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即∫1ξf(t)dt+ξf(ξ)=0，故ξf(ξ)一∫ξ1f(x)dx=0．
解析 欲证ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx=>xf(x)=∫x1f(t)dt，如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，则F(0)=0f(0)一∫01f(t)dt出≤0，F(1)=1．f(1)－∫11f(t)dt=f(1)≥0，难以验证F(x)在[0，1]上有F(0)<0，F(1)>0．于是，可作辅助函数F(x)，使得
F’(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，
  即    F’(x)=[x∫1xf(t)dt]’，
  即    F(x)=x∫1xf(t)dt，
再用洛尔定理证明．
用辅助函数法证明存在点ξ，使得F(ξ)=0，若将待证结论中的ξ换为x不能作为辅助函数时，可考虑用其原函数作为辅助函数．
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